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melanie düsterhöft (confusemel)
Junior Mitglied
Benutzername: confusemel
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Juni, 2003 - 16:23: | 
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Bitte helft mir! ich hab zwar ansätze aber komme nicht auf endergebins! Ich verrechne mich anscheinend zu oft! Könnt ihr mir den lösungsweg erklären?
1)
Matthias trifft bei einem Pfeilwurfspiel mit einer Wahrscheinlichekit von 15 % das innere einer zielscheibe.
Wie oft musser mindestens werfen, um mit einer wahrscheinlichkeit 80 % mindestens einen treffer zu erzielen?
2)bei der herstellung von bauteilen ergibt sich ein ausschussanteil von 0,005.
Wie viele bauteile muss man mindestens übrprüfen, um mit einer wahrscheinlichkeit von mehr als 95 % mindestens ein ausschuss-stück zu erhalten?
3)
Bei einem Multiple-choice test sind jeder der 8 fragen jeweils 4 antwortmöglichkeiten beigegeben, wovon nur eine richtig ist. Die tstperson ist völlig unvorbereitet und kreuzt bei jeer frage eine antwort rein zufällig an. Wie groß ist die wahrscheinlichkeit den test zu bestehen, wenn dazu mehr als 5 richtige antworten nötig sind?
Ich wäre sehr dankbar wenn das so schnell wie möglich gelöst würd!!!!
Welche möglichkeiten gibt es jeweils diese aufgaben zu lösen? |
Tyll (tyll)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tyll
Nummer des Beitrags: 190
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Juni, 2003 - 18:19: |
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Hi!
die ersten beiden gehen anch dem selben Prinzip:
Gegeben ist jeweils eine Wahrscheinlichkeit p für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses (z.B. 15% für das Treffen der Scheibenmitte). Die Frage, wie oft dann das Experiment wiederholt (also geworfen) werden muß, damit ein Treffer dabei ist, ist dasselbe, als würde man sagen:
Er kann ja nicht immer nur daneben werfen. Wie oft muss er also werfen, um mit mindestens x% in dem Wurf zu treffen.
Das bedeutet: Das Experiment wird so oft mit negativem Ausgang (er trifft nich die Mitte der Scheibe) wiederholt, bis die Wahrscheinlichkeit, dass sich diese Negativ-serie fortsetzt, kleiner als 100-x% ist.
Also:
0 sei das nichteintreten eines Ereignisses, 1 das eintreten (mit Wahrscheinlichkeit 0 < p < 1). Zu bestimmen ist dann die Länge der "Kette" 0,0,0,...,0,1.
Dass 0 eintritt hat die Wahrscheinlichkeit 1-p, zum vogegeben 0 < x < 1 muss dann (1-p)^n <= 1-x nach n aufgelöst werden.
=> n*ln(1-p) <= ln (1-x)
<=> n >= ln(1-x) / ln(1-p)
Für das erste Beispiel ergibt sich x=0,8, p=0,75, somit n >= 5,59
Die dritte Aufgabe folgt einer sogenannten Binomialverteilung.
Erstmal muss festgehalten werden, dass für jede Frage die Wahrscheinlichkeit 1/4 betraägt, wenn man rät. Es sind außerdem n=8 Fragen und mindestns k=5 richtige werden verlangt. welche das sind, ist egal!
Für genau 5 richtige Antworten wäre also 3 falsch, somit ist
B(n,p,k=5) = (1/4)^5*(3/4)^3*(8 über 5)
(1/4)^5 ist die Wahrscheinlichkeit für 5 richtige Antwerten,
(3/4)^3 ist die Wahrscheinlichkeit für 3 richtige Antwerten,
(8 über 3)
= 8!/(3!*5!)
= 1*2*...*8 / (1*2*3*1*2*3*4*5) ist die Auswahl von 5 aus 8 (das Problem der Reiehnfolge, wenn es dich interessiert)
Nun sind aber mindestsn 5 richtige gefordert, d.h. 6,7 und 8 sind auch gut. also mußt du
B(n,p,k=5)+B(n,p,k=6)+B(n,p,k=7)+B(n,p,k=8) rechnen und bist fertig (etwa 0.027, also knapp 3%). lernen lohnt sich doch! ;-)
Zeichne dir dazu einen Entscheidngsbaum!
Gruß
Tyll |
Marco1 (Marco1)
Mitglied
Benutzername: Marco1
Nummer des Beitrags: 28
Registriert: 09-2008
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Januar, 2009 - 08:18: |
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0 sei das nichteintreten eines Ereignisses, 1 das eintreten (mit Wahrscheinlichkeit 0 < p < 1). Zu bestimmen ist dann die Länge der "Kette" 0,0,0,...,0,1.
Dass 0 eintritt hat die Wahrscheinlichkeit 1-p, zum vogegeben 0 < x < 1 muss dann (1-p)^n <= 1-x nach n aufgelöst werden.
=> n*ln(1-p) <= ln (1-x)
<=> n >= ln(1-x) / ln(1-p)
Kannst du mal erklären, wie du zur Gleichung kommst, besonders der Exponent, woher der ab-
geleitet wird ?
VG |
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 806
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Januar, 2009 - 13:02: |
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Hallo Marco,
ich glaube nicht, dass dir Tyll nach 5 1/2 Jahren noch einen Beitrag erklärt. Ich mache es mal - und zwar am Zahlenbeispiel der Aufgabe:
Dieser Matthias trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 15% = 0,15. Das bedeutet: Er trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 85% = 0,85 nicht. (Man muss also zunächst von der Wahrscheinlichkeit p eines Treffers zur Gegenwahrscheinlichkeit 1-p eines Fehlschlags übergehen).
Wenn Matthias nun zweimal wirft, trifft er mit der Wahrscheinlichkeit 0,85*0,85 = 0,85² = 0,7225 = 72,25% beide Male nicht. Das bedeutet: Mit der Wahrscheinlichkeit 1-0,7225 = 0,2775 = 27,75% trifft er mindestens einmal.
Wenn er dreimal wirft, trifft er mit der Wahrscheinlichkeit 0,85³ kein einziges Mal. 0,85³ = 0,614125 = 61,4125%. Das bedeutet: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 38,5875% trifft er mindestens einmal.
Wir fragen uns nun, wie oft er werfen muss, damit er mit mindestens 80% Wahrscheinlichkeit mindestens einmal trifft. Das bedeutet: Wir müssen herausfinden, wie oft er werfen muss, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 20% immer daneben wirft.
Der Ansatz ist also 0,85^n <= 0,2.
(Allgemein lautet diese Gleichung also: (1-p)^n <= 1-x. Dabei ist x die gewünschte Trefferwahrscheinlichkeit - im Beispiel also 80%).
Eine solche Ungleichung kann man durch Probieren mit dem Taschenrechner lösen. Man setzt für n nacheinander immer größere natürliche Zahlen ein und hat die Lösung gefunden, wenn zum ersten Mal 0,85^n kleiner ist als 0,2 (oder gleich). Wenn man die Lösung systematisch finden will, so benötigt man etwas Wissen über Logarithmen. Ich kann jetzt und hier keine Abhandlung über Logarithmenrechnung schreiben. Deshalb gehe ich davon aus, dass du dich damit wenigstens grob auskennst. (Du hast mir immer noch nicht geantwortet, wieviel Mathematik du eigentlich kannst.) Die Rechnung läuft so:
0,85 ^ n <= 0,2
Nun auf die Ungleichung auf beiden Seiten eine Logarithmusfunktion zu einer beliebigen Basis anwenden. Da auf einem Taschenrechner gewöhnlich nur die Basen 10 und e vorhanden sind, nehmen wir z.B. den Logarithmus zur Basis 10 (abgekürzt lg bzw. auf dem Taschenrechner log):
lg (0,85^n) <= lg(0,2)
Die Ordnungsrelation <= bleibt beim Logarithmieren zur Basis 10 erhalten.
Nun wenden wir die Logarithmenregeln an: lg(a^n)=n*lg(a)
n*lg(0,85) <= lg(0,2)
Wir dividieren durch lg 0,85. Da diese Zahl negativ ist, dreht sich die Ordnungsrelation dabei:
n >= lg(0,2)/lg(0,85)
n >= -0,70/-0,07 ist ungefähr 10 (die Logarithmen zuvor waren auch schon gerundet).
Matthias muss also mindestens 10 mal werfen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens 1 Treffer zu landen. (In Wirklichkeit sind es etwa 80,3%).
Alles klar?
Allgemein ist die Rechnung:
(1-p)^n<=1-x
lg (1-p)^n <= lg (1-x)
n*lg(1-p) <= lg(1-x)
n >= lg(1-x)/lg(1-x)
Viele Grüße
Jair |
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