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Constanze
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. April, 2000 - 19:11: | 
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Hallo, wer kann mir den tieferen Sinn eines Logarithmus erklären?
Constanze |
Niels
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. April, 2000 - 19:51: |
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Hallo Conztanze,
ersteinmal Die Logarithmusdiffinition:
Unter den Logarithmus Logab (Logarithmus b zur Basis a) versteht man die Zahl x, mit der man die Basis a Potenzieren muß um b Zu erhalten.
Logab=xÞax=b
Aus der Diffinition des Logarithmus kann man schon erkennen, das man den Logarithmus braucht, wenn man den Exponenten nicht kennt. Dies ist meist bei Aufgaben rund ums Thema Wachstum der Fall, da Wachstum oft exponentiell ist.
Gruß
Niels |
Niels
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. April, 2000 - 19:56: |
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Sorry Constanze,
Ich habe deinen Namen falsch geschrieben!
Nochmals sorry!
Gruß
Niels |
Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. April, 2000 - 08:54: |
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Hallo Constanze,
der Logarithmus ist erfunden worden, um Multiplikationen von Zahlen mit vielen Nachkommastellen zu vereinfachen. Die "normale" Multiplikation, wie Du sie in der Schule gelernt hast, ist dazu viel zu aufwendig und fehleranfällig.
Das Problem komplizierter Multiplikationen taucht z.B. immer dann auf, wenn Trigonometrie im Spiel ist (Sinus, Cosinus,...), also etwa in der Astronomie oder in der Navigation (Schiff, Flugzeug).
Erfunden wurde der Logarithmus von einem Schweizer namens Bürgi, kurz danach (fast zeitgleich) von einem Schotten namens Napier (auch Neper). Kurz danach hat ein Engländer namens Briggs die sog. Zehner-Logarithmen berechnet (d. h. Niels Zahl a oben wird 10 gesetzt). Auf Deinem Taschenrechner liefert dies die Taste "log".
Zum Prinzip, das dahinter steckt. Probier mal folgendes mit dem Taschenrechner aus:
Banales Beispiel: 12*4 = 48 (klar). Dasselbe mit dem Logarithmus geht so:
Berechne log 12 = 1,079........ und speichere den Wert
ebenso log 4 = 0,602..........
ADDIERE jetzt diese beiden krummen Zahlen (das ist der eigentliche Trick)
Drücke auf die Taste "log hoch -1" (Umkehrung des Logarithmus)
Resultat ist 48
Genauso wird etwa 0,34567 * 0,98765 berechnet, und da macht das Ganze schon mehr Sinn, oder?
Allgemein liegt die Vereinfachung darin, daß der Logarithmus Multiplikationen in Additionen umformt:
log (b*c) = log b + log c
(ich laß die Basis a weg, Niels hat sie richtig hingeschrieben).
Begründung: wie bei Niels x = log b und y = log c.
Jetzt ist a hoch (x+y) = a hoch x * a hoch y = b*c
also x+y = log (b*c).
Wegen x=log b und y = log c gibt das
log b + log c = log (b*c)
Letztendlich wird also ausgenutzt, daß bei einem PRODUKT von Potenzen die Exponenten (Hochzahlen) ADDIERT werden.
Sorry wegen der fehlenden Formatierung, bin zu faul dazu.
Übrigens waren bis zur Erfindung des Taschenrechners sog. Logarithmentafeln und Rechenschieber die einzigen Hilfsmittel, komplizierte Zahlen zu multiplizieren. Der Rechenschieber ist ein Addiergerät, auf dem nicht die Zahlen selbst, sondern deren Logarithmen dargestellt sind - somit werden Multiplikationen möglich.
Ich hoffe, das war verständlich. Ciao. |
Niels
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. April, 2000 - 14:01: |
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Hi Anonym,
Das war Vollkommen verständlich!
Allerdings habe ich eine geschichtliche Frage.
War der eigentliche erfinder nicht ein Herr Stifel?
Gruß
Niels |
Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Mai, 2000 - 07:50: |
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Hi Niels,
in gewisser Weise stimmt das. In irgendeinem Buch habe ich gelesen, daß Stifel darauf hingewiesen hat, daß man mit seiner "Rechenkunst" noch viel mehr machen könne, was aber ein ganz neues Buch erfordern würde.
Soweit ich weiß, ist das DIE Anregung gewesen, die dann Jost Bürgi aufgegriffen hat. Vermutlich war es so, daß Stifel die Idee geliefert hat, Bürgi aber der erste war, der die Mühe auf sich genommen hat, diese Logarithmen tatsächlich auszurechnen.
Nebenbei habe ich keine Ahnung, wie Bürgi tatsächlich vorgegangen ist, mit welchen Methoden er die Logarithmen berechnet hat. Hast Du einen Tip?
Daß Napier (von dem das Wort Logarithmus stammt) fast zeitgleich dasselbe entdeckt hat wie Bürgi, zeigt zumindest, daß die Entdeckung "in der Luft hing". Der Unterschied ist "nur" der, daß Napier nicht den Logarithmus von Zahlen, sondern den Logarithmus von Sinuswerten von Zahlen berechnet hat. Auch wenn das komplizierter scheint, war dies wegen der Anwendungen (Astronomie, Nautik) genau das, was in der Praxis gebraucht wurde.
Wie gesagt, über weitere Tips würde ich mich freuen. Ciao. |
Niels
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Mai, 2000 - 18:11: |
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Hi Anonym,
was meinst du für Tips?
Wenn du ein Verfahren zur Berechnung von Logarithmen meinst, das (im Prinzip) ohne Taschenrechner auskommt, dann hätte ich eins im Angebot.
Gruß
Niels |
Anonym
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Mai, 2000 - 07:32: |
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Hi Niels,
yeah, genau das suche ich. Wie kommt man zum Beispiel auf die Lösung von 10 hoch 1,23456 ? In meinem kleinen Hirn ahne ich nur soviel:
10 hoch 0,1 = 10 hoch 1/10 = 10 hoch (1/2 * 1/5)
Also läuft das -reine Vermutung- wahrscheinlich darauf hinaus, sowas wie "10 hoch (1/Primzahl)" zu berechnen.
Wenn man das hätte, wäre z.B. 10 hoch 0,3 = 10 hoch (1/10 + 1/10 + 1/10) = (10 hoch 1/10) * (10 hoch 1/10) * (10 hoch 1/10) klar.
Mehr weiß ich nicht. Also, über Dein Verfahren würde ich mich freuen. Ciao, Heino Stern. |
Niels
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Mai, 2000 - 19:37: |
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Hi Heino Stern,
also zum Verfahren:
Ein Beispiel:
Überlegung:
log25 sei eine beliebige Dezimalzahl mit n Ziffern:
log25=z0,z1z2z3...zn
Laut Diffinition gilt dann:
2z0,z1...zn=5
Nun überlegt man sich weiter:
z muß als Ziffer eine ganze Zahl n zwischen 1 und 9 sein. Außerdem muß z0 so gewählt werden das die Potenz 2z0 die größte 2er Potenz kleiner als 5 (b) bildet.
Daraus resultiert:
z0=2 (22=4<5)
Nun dividiert man durch 2z0 (4), das hat zur Folge das auf der linken seite z0 herrausfliegt.
20,z1...=5/4=1,25
Nun Potenzieren wir mit 10 (dient der Kommaverschiebung!)
2z1,...=9,313...
Und Jetzt kämen die gleichen Überlegungen wie bei z0!
z1=3 (8<9)
dann wieder dividieren und...
Dieses Verfahren kann jeztzt als Iterationsverfahren bis zn (gewünschte Genauigkeit) fortgesetzt werden.
Gruß
Niels |
Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Mai, 2000 - 09:52: |
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Hi Niels,
ganz herzlichen Dank, war klar und deutlich. Viele Grüße, Heino Stern |
Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Mai, 2000 - 10:00: |
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Hi Niels,
ich weiß nicht, ob meine Nachricht durchgekommen ist - ich wollte mich herzlich bedanken. Alles paletti. Grüße, Heino Stern |
Mathematiker
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Februar, 2001 - 20:40: |
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Kann mir keiner einen Spicker anfertigen, wo das wichtigste über Logarithmus steht??? |
Mathematiker
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Februar, 2001 - 20:42: |
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Ach ja wenn es geht bis morgen, weil dann eine Klausur schreibe!
Ich bedanke mich schon einmal im Voraus!! |
Mathematiker
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Februar, 2001 - 20:43: |
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Ach ja wenn es geht bis morgen, weil ich am Donnerstag den 15.02.01 eine Klausur schreibe!
Ich bedanke mich schon einmal im Voraus!! |
anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Februar, 2001 - 22:00: |
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Hallo ,
Bei neuen Fragen bitte neuen Beitrag öffnen! |
mer trer (Msd73)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. März, 2001 - 16:50: |
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Hi!
Wer kann bis Freitag, den 30.03.2001 ein Plakat über die Kurvendiskussion von der ln-Funktion (10er - Log.) für uns machen? Danke im Vorraus.
P.S.: Muss aber bis um 7.00 Uhr (am Freitag) bei uns sein. |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. März, 2001 - 17:14: |
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mit einer Logarithmus-Funktion "kannst zeigen", dass die Gruppe(IR+,*) isomorph zur Gruppe (IR,+) ist.
Die Multiplikation lässt sich also auf eine Addition zurückführen (s.o.)
f:IR+ -> IR, f(x):= ln(x) bijektiv und
ln(a*b) = ln(a)+ln(b) für alle a,b E IR+ |
anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Oktober, 2001 - 20:40: |
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menno.ich peil das auch nich......*hoiiiiiilz*........ich schreib morgen ne Mathearbeit...üba Logarithmus und Potenzen...*verzweifeltguckz*...hmm......kann man hier net irgendwie Aufgaben mit Lösungen reinmachen????????????????????...hmm.....für morgen is es eh zu spät.....was solls...*g |
ohnenam
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Oktober, 2001 - 08:32: |
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Hi anonym,
Manomann - Schaaaade - ist jetzt wohl zu späääät |
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